Построить график функции y = 2*∛(x²) * e^(-x/3) по следующему алгоритму: 1) Область

Построить график функции y = 2*∛(x²) * e^(-x/3) по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  yadielmercer
- 5 лет назад

Ответы 2

Готово. Сейчас ещё проверю одним глазком.
- Автор:
  chinaguzman
- 5 лет назад
- 0
Дано: $y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} }$ ;Исследовать функцию и построить график.Решение:1) Функция определена при любых аргументах.D(f) ≡ R ≡ $( -\infty ; +\infty )$ ;2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это: $y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} }$ ; $y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} }$ ≠ ± 1 при любых аргументах ; $y(-x)/y(x)$ ≠ ± 1 ;Найдём первую производную функции y(x) : $y'(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )' = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )' = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } =$ $= \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x )$ ; $y'(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x )$ ;При x = 0, производная y'(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа $\lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0$ ; $\lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0$ ;3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.Если приравнять функцию к нолю, получим: $y(x) = 0$ ; $\sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = 0$ ;Что возможно только при $\sqrt[3]{x^2} = 0$ , т.е. при x = 0 ;Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.4. Найдем асимптоты y(x).Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $\infty$ : $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =$ $= \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } =$ $= \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } > \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =$ $= \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } =$ $= \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0$ ;Поскольку, $\lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0$ , то: $\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0$ ;Значит, уходя на отрицательную бесконечность аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0 .Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу: $\lim_{x \to -\infty} y'(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) > \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x )$ ; $\lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty$ – по доказанному в пределе самой функции . $\lim_{x \to -\infty} y'(x) = -\infty$ ;А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная.
- Автор:
  mcpherson
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ