Докажите, что две прямые, проходящие через одну вершину параллелограмма и
середины противоположных этой вершине сторон, делят диагональ параллелограмма
на три равные части.

Пусть АВСД- параллелограмм. М и Н - середины сторон противоположных В. Н- середина СД. Пусть К - пересечение ВН и АС. Надо доказать : СК=АС/3.Проведем еще и диагональ ВД. Пусть О - точка пересечения диагоналей. В параллелограмме СО - медиана треугольника ВСД. И ВН -медиана треугольника ВСД. К-точка пересечения этих медиан. ОС=АС/2 (по свойству диагоналей параллелограмма).  СК=ОС*2/3 (по свойству медиан).Значит СК=АС*(1/2)*(2/3)= АС/3. Что и требовалось. Точно также доказывается, что и отрезок , примыкающий к А равен трети диагонали. Но это значит, что и оставшийся центральный отрезок равен трети диагонали.