• Доказать, что для любых натуральных n число (3^6n+3^5n+1+3^4n+1+3^3n) делится на 8.

    question img

Ответы 2

  • ОК, только, пожалуйста дорешай
    • Автор:

      foxy1fyq
    • 6 лет назад
    • 0
  • Пусть A_{n} \triangleq "3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m \in Z". A_{1} верно, так как3^6 + 3^{5+1} + 3^{4+1} + 3^3 = 2*3^6 + 27*10 = 270 + 1458 = 1728 = 216*8.Покажем, что A_{n} => A_{n+1}:x \triangleq 3^{n}:A_{n} = "x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 = 8m" = "(x^2+x)^{3} = 8m".Так как x^{2}+x \in N, A_{n} = "(x^2+x)^{3} = (2p)^{3}, p \in N" A_{n} = "x^2+x = 2p, p \in N" 3^{6(n+1)} + 3^{5(n+1)+1} + 3^{4(n+1)+1} + 3^{3(n+1)} = 3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3}3^{6}x^{6} + 3^{6}x^{5} + 3^{5}x^{4} + 3^{3}x^{3} = (3^{2}x^{2} + 3x)^{3} = 3^{3}(3x^{2}+x)^{3}(3x^{2}+x)^{3} = 8m + (27-1)x^6 + (9-1)*3x^{5}+(3-1)*3x^{4}(3x^{2}+x)^{3} = 8m + x^{4}(6+24x+26x^{2}) = 8m + x^4(2p*24 + 2x^2+6)Тогда A_{n+1} = "2x^2+6 = 8k, k \in Z".A_{n+1} = "2*3^{2n}+6 = 8k, k \in Z".Докажем A_{n+1}:Пусть B_{m} \triangleq 2*3^{2m}+6 = 8k, k \in Z B_{1} верно, так как2*3^{2}+6 = 24 = 8*3, 3 \in ZПокажем, что из B_{m} следует B_{m+1}:B_{m+1}: 2*3^{2m+2}+6 = 2*3^{2m}*9 + 6 = 2*3^{2m} + 6 + 8*2*3^{2m}= 8k + 8*2*3^{2m} = 8 * w, w \in NТогда B_{m} \Rightarrow B_{m+1}: Таким образом, B_{m} верно для всех натуральных m, следовательно  A_{n+1} истинно.Тогда  A_{n} \Rightarrow A_{n+1},  A_{n} верно для всех натуральных n:3^{6n} + 3^{5n+1} + 3^{4n+1} + 3^{3n} = 8 * m, m \in Z, \forall n \in N,ч. и т.д.
    • Автор:

      jerry83
    • 6 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years