найти интеграл x*arcsinx

∫ x*arcsin(x)dx

Воспользуемся формулой:

∫udv=uv-∫vdu

Сделаем замену

u=arcsin(x)

du=dx/√(1-x^2)

xdx=dv

v=x^2/2

тогда

∫ x*arcsin(x)dx =(x^2/2)*arcsin(x)- ∫(x^2/2/√(1-x^2)dx=

==(x^2/2)*arcsin(x)- (1/2)∫(x^2/√(1-x^2)dx

для нахождения интеграла

(1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx

Сделаем замену

x = sin(u)

dx=cos(u)du

(1/2)*∫(x^2/√(1-x^2)dx=(1/2)*∫((sin^2(u)/ √(1-sin^2(u)))*cos(u)du=

=(1/2)* ∫(sin^2(u)/ √(cos^2(x))*cos(u)du=

=(1/2)* ∫(sin^2(u)/ cos(u))*cos(u)du=(1/2) ∫sin^2(u)du=(1/2) ∫((1-cos(2u)/2)du=

=(1/4) ∫(1-cos(2u))du=(1/4) ∫du-(1/4) ∫cos(2u)du=u/4-sin(2u)/8+c=

=u/4-sin(u)*cos(u)/4+c

Так как

sin(u)=x => u=arcsin(x)

и

cos(u)=  √(1-sin^2(u))= √(1-x^2)

то получим, что

u/4-sin(u)*cos(u)/4+c =arcsin(x)/4-(x/4)* √(1-x^2)+c

и в целом

∫ x*arcsin(x)dx ==(x^2/2)*arcsin(x)-arcsin(x)/4+(x/4)* √(1-x^2)+c