Определить экстремальные точки и точки перегиба кривых и построить кривые:

1)Y=((X^3)/6)-x^2

2)Y=e^(-x^2)

3)Y=(2x)/(1+x^2)

4)Y=2^(1/x)

1)  y=(x^3/6)-x^2

y '(x) = (3x^2/6)-2x=(x^2/2)-2x

(x^2/2)-2x=0

x^2-4x=0

x(x-4)=0

Находим критические точки

x=0 и x=4

Находим вторую производную

y '' (x)=x-2

Определяем знак второй производной в критической точке

f'' 0)<0

f''(4)>0

Следовательно, x=0 - точка максимума

x=4 - точка минимума

Находим точку перегиба

f''(x)=0

x-2=0

x=2 - критическая точка второго рода

Точка с абсциссой x=2 есть точка перегиба

Находим ординату перегиба

y(2)=8/6-4=-8/3

Таким образом точка (2; -8/3) - точка перегиба

Функция возрастает от  - бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечности

Функция убывает от 0 до 4

2) y=e^(-x^2)

y ' =-2x*e^(-x^2)

Находим критические точки

-2x*e^(-x^2)=0

x=0

Находим вторую производную

y ''(x)=-2*e^(-x^2)+4x^2*e^(-x^2)=e(-x^2)*(-2+4x^2)

Определяем знак второй производной в критической точке

y''(0)=-2

Следовательно, x=0 - точка максимума

Находим точку перегиба

f''(x)=0

e(-x^2)*(-2+4x^2)=0

(-2+4x^2)=0

4x^2=2

x^2=1/2

x=±sqrt(1/2)- критические точки второго порядка

точки  с абсциссами x=sqrt(1/2) и -sqrt(1/2) - точки перегиба выпуклостью вниз

Находим ординаты перегиба

y(-sqrt(1/2)=e^(1/2)

y(-sqrt(1/2)=e^(-1/2)

y(2)=8/6-4=-8/3

Функция  y(x)>=

Функция возрастает от - бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности

3) y=(2x)/(1+x^2)

y ' (x)=2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2

Находим критические точки

2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2

2x(1+x^2)-4x^2=0

x=0

x=0 - критическая точка

Находим вторую производную

y''(x)=-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3

Определяем знак второй производной в критической точке

y''(0)<0

Следовательно, x=0 - точка максимума

Находим точку перегиба

f''(x)=0

-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3=0

-12x-12x^3+16x^3=0

x=0 - точка перегиба выпуклостью вверх

x=-sqrt(3)-точка перегиба выпуклостью вниз

x=sqrt(3)- точка перегиба выпуклостью вниз

Функция спадает от - бесконечности до -sqrt(3) и jn 0 до sqrt(3) и на остальных промежутках  возрастает

4) y=2^(1/x)

y'(x)=-2^(1/x)*ln(2)/x^2

точка x=0 - точка разрыва

функция убывает от - бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечности

точки перегиба можно определить как в предыдущих заданиях