Полностью исследуйте функцию 3x/ 1+x^3
 
схема:
1.Область определения
2.четность, ни четность 
3.точки пересечения с осями координат 
4. непрерывность
5.монотонность и экстремум 
6.выпуклость , вогнутость и перегиб
7.асимптоты (вертик, наклон,горизонт)
8.график

1.Область определенияD(f)∈(-∞;-1) U (-1;∞)2.четность, ни четность f(-x)=-3x/(1-x³)=-3x/(-(x³-1)=3x/(x³-1) ни четная,ни нечетная3.точки пересечения с осями координат х=0  у=0  (0;0)4. непрерывностьФунция не существует при х=-1⇒прерывна5.монотонность и экстремум f`(x)=(3+3x³-9x³)/(1+x³)²=(3-6x³)/(1+x³)²=03-6x³=0x³=1/2x=1/∛2         +           +                    _---------(-1)-------(1/∛2)----------                                maxвозр x∈(-∞;-1) U (-1;1/∛2)убыв x∈(1/∛2;∞)ymax(1/∛2)=2/∛2=∛46.выпуклость , вогнутость и перегибf``(x)=[-18x²(1+2x³+x^6)-(6x²+6x^5)(3-6x³)]/(1+x³)^4==(-18x²-36x^5-18x^8-18x²+36x^5-18x^5+36x^8)/(1+x³)^4==(18x^8-18x^5-36x²)/(x+x³)^4=18x²(x^6-x^3-2)/(1+x³)^4=018x²(x^6-x^3-2)=0x=0x^6-x³-2=0x³=aa²-a-2=0a1+a2=1 U a1*a2=-2a1=-1⇒x³=-1⇒x=-1∉D(f)a2=2⇒x³=2⇒x=∛2            _              _               _                  +----------(-1)----------(0)------------(∛2)------------вып вверх    вып вверх  вып вверх        вогн внизy(∛2)=3∛2/(1+2)=∛2    (∛2;∛2)-точка перегиба7.асимптоты (вертик, наклон,горизонт)При х=-1 разрыв,значит х=-1 -вертикальная асимптотаk=limf(x)/x=lim3x/(1+x³)x=lim3/(1+x³)=3/∞=0b=lim(f(x)-kx)=lim(3x/(1+x³)-0*x)=lim3x/(1+x³)=∞/∞=lim(3/x²)/(1/x³+1)==0/1=0Наклонных асиптот нет8.график