Про число a известно, что его последняя цифра равна 1, и что оно делится ровно на десять различных чисел (включая 1 и a). На сколько различных чисел делится число 10a?

ответ: 40

решение:

пусть делители числа а обозначаются как д1(первый делитель равен 1), д2, д3, д4, д5, д6, д7, д8, д9, д10(последний делитель равен а)

1. среди делителей а нет и не может быть четных чисел (окончание - 1) и

нет 5 (и всех нечетных числел, делящихся на 5 - 15, 25 и т.д.)

2. умножение на 10 дает нам дополнительных три делителя: 2, 5 и 10

плюс производные делители от 2:

д2*2, ... д10*2 - 9 дополнительных четных делителей, т.к.четных делителей раньше не было, а д1*2=2 - уже учли

аналогично добавляем производные делители от 5 и от 10:

д2*5, ... д10*5, д2*10,...,д10*10 - еще 9 дополнительных делителей, делящихся на 5 и 9 делителей, делящихся на 10, т.к.таких делителей раньше тоже не было,

3. понимаем, что конечный делитель - 10а = Д10*10 - т.е. больше делителей дополнять не нужно

итого получим: 10 стартовых + 3*10 дополнительных = 40 делителей