Сложно!Найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)

Сложно!Найдите производную от у=(x+2y)/(2x-y)
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  winstonbmbr
- 6 лет назад

Ответы 1

$y = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$ Преобразуем уравнение: $( 2x - y ) y = x + 2y \ ;$ $2xy - y^2 = x + 2y \ ;$ Заметим, что данное уравнение имеет квадратичную форму относительно $y \ .$ Выражая из него $y(x) \ ,$ мы получили бы стандартное выражение в виде корней параметрического квадратного уравнения, которых за исключением одной точки всегда 2, в том случае, если они конечно вообще есть. Таким образом, если бы мы использовали функцию $y(x)$ относительно $x \ ,$ для отображения того же множества точек, что и исходное уравнение, то такая функция, во-первых, не была бы однозначной, а во-вторых была бы определана не для всех $x \ .$ Вывод: для дифференцирования такого уравнения наиболее удобно использовать именно однозначную обратную функцию $x(y)$ относительно $y \ .$ Для этого выразим $x(y)$ относительно $y \ .$ $2xy - x = y^2 + 2y \ ;$ $x ( 2y - 1 ) = y^2 + 2y \ ;$ $x(y) = \frac{ y^2 + 2y }{ 2y - 1 } \ ;$ Продифференцируем её по $y \ ,$ используя общее правило,что если $z(t) = \frac{ p(t) }{ q(t) } \ ,$ то: $z'_t(t) = \frac{ p'_t q(t) - q'_t p(t) }{ q^2 (t) } \ ;$ $x'_y(y) = \frac{ ( 2y + 2 )( 2y - 1 ) - 2 ( y^2 + 2y ) }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 4y^2 + 4y - 2y - 2 - 2 y^2 - 4y }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } \ ;$ $y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ x'_y(y) } = 1 / \frac{ 2y^2 - 2y - 2 }{ ( 2y - 1 )^2 } = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ;$ О т в е т : $y'_x(y) = \frac{dy}{dx} = \frac{ ( 2y - 1 )^2 }{ 2 ( y^2 - y - 1 ) } \ ;$ $x'_y(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{ 2 ( y^2 - y - 1 ) }{ ( 2y - 1 )^2 } \ .$
- Автор:
  dee
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ