Решите, пожалуйста. ПС. не знаете правильного решения, не пишите ничего

Решите, пожалуйста. ПС. не знаете правильного решения, не пишите ничего
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  bessie
- 6 лет назад

Ответы 3

Да. Таки вот. По поводу начальных условий. В общих решениях ваших заданий (в последних строчках каждой задачи) присутствуют неопределённые величины: R и K. Это какие-то константы, которые можно было бы найти только при задании начальных условий. На всякий случай, замечу, что в таких общих решениях ваших заданий, константа K > 0, а константа R – любое вещественное число, фиксированное в каждом конкретном (частном) решении.
- Автор:
  aubriebxhz
- 6 лет назад
- 0
Х-1+1=3
- Автор:
  pongo30oq
- 6 лет назад
- 0
Задания даны без начальных условий. А значит, получить конкретные решения дифференциальных уравнений – невозможно.Если не понятно, что такое начальные условия, поясню.Например, есть дифференциальное уравнение: $y'' + \pi^2 y = 0 \$ с начальными условиями $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \$ Очевидно, множество решений такого дифференциального уравнения, это: $y = C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \ ,$ где $C_o$ и $C_1$ – какие-то неопределённые коэффициенты, которые можно определить через начальные условия.Во-первых, убедимся,что общее решение $y = C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \$ – вообще верно. $y'_x = - C_o \pi \sin{ ( \pi x + C_1 ) } \ ;$ $y''_x = - C_o \pi^2 \cos{ ( \pi x + C_1 ) } \ ;$ $y'' + \pi^2 y = - C_o \pi^2 \cos{ ( \pi x + C_1 ) } + \pi^2 C_o \cos{ ( \pi x + C_1 ) } = 0 \ ;$ итак, общее решение действительно верно.Найдём конкретное решение,подставив вместо $x$ и $y$ – начальные условия $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \ :$ $5 = C_o \cos{ ( \pi + C_1 ) } = C_o \cos{ ( - \pi + C_1 ) } \ ,$ поскольку косинус – чётная функция, то $C_1 = 0 \ ,$ и тогда: $5 = C_o \cos{ \pi } \ ,$ откуда: $C_o = \frac{5}{ \cos{ \pi } } = \frac{5}{ -1 } = -5 \ ;$ Окончательно, конкретное решение дифференциального уравнения $y'' + \pi^2 y = 0 \$ с данными начальными условиями $( x_o ; y_o ) = ( \pm 1 ; 5 ) \ :$ $y = - 5 \cos{ \pi x } \ .$ Теперь о ваших задачах.З А Д А Ч А . № . 1 $( 3 + e^x ) y dy = e^x dx \ ;$ Как и всегда, перетаскиваем всё в одну сторону: $y dy = \frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } \ ;$ Интегрируем: $\int{y} \, dy = \int \frac{ e^x dx }{ 3 + e^x } \ ;$ $\frac{y^2}{2} + C = \int \frac{ d( e^x + 3 ) }{ e^x + 3 } \ ;$ $y^2 = 2 \ln{ ( e^x + 3 ) } + C \ ;$ $y = \pm \sqrt{ 2 \ln{ \frac{ e^x + 3 }{K} } } \ ;$ Более точное решение этого дифференциального уравнения (как и любого другого) может быть дано только при наличии начальных условий.З А Д А Ч А . № . 2 $y' = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$ $\frac{dy}{dx} = \frac{ x + 2y }{ 2x - y } \ ;$ $( 2x - y )dy = ( x + 2y )dx \ ;$ Переходим к уравнению с компонентом однородного $\frac{y}{x} \ :$ $( 2x - y ) \cdot d ( \frac{y}{x} \cdot x ) = ( x + 2y )dx \ ; \ \ \ \ || : x \ ;$ $( 2 - \frac{y}{x} ) \cdot d ( \frac{y}{x} \cdot x ) = ( 1 + 2 \frac{y}{x} )dx \ ;$ Раскрываем составной дифференциал $d ( \frac{y}{x} \cdot x )$ через общее правило $d z t = z dt + t dz \ :$ $( 2 - \frac{y}{x} ) ( \frac{y}{x} dx + x d ( \frac{y}{x} ) ) = ( 1 + 2 \frac{y}{x} )dx \ ;$ $2 \frac{y}{x} dx + 2 x d ( \frac{y}{x} ) - ( \frac{y}{x} )^2 dx - \frac{y}{x} \cdot x d ( \frac{y}{x} ) = dx + 2 \frac{y}{x} dx \ ;$ $2 x d ( \frac{y}{x} ) - \frac{y}{x} \cdot x d ( \frac{y}{x} ) = dx + ( \frac{y}{x} )^2 dx \ ;$ $x ( 2 - \frac{y}{x} ) d ( \frac{y}{x} ) = ( 1 + ( \frac{y}{x} )^2 ) dx \ ;$ $\frac{ 2 - y/x }{ 1 + ( y/x )^2 } d ( \frac{y}{x} ) = \frac{dx}{x} \ ;$ Переменные разделены на основную и однородную. Теперь интегрируем: $\int{ \frac{ 2 - y/x }{ 1 + ( y/x )^2 } } \, d ( \frac{y}{x} ) = \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$ $2 \int{ \frac{1}{ 1 + ( y/x )^2 } } \, d ( \frac{y}{x} ) - \frac{1}{2} \int{ \frac{1}{ 1 + ( y/x )^2 } } \, 2 \frac{y}{x} d ( \frac{y}{x} ) = \ln{|x|} + C \ ;$ $2 \int{ \frac{ d ( x/y ) }{ 1 + ( y/x )^2 } } - \frac{1}{2} \int{ \frac{ d ( 1 + ( y/x )^2 ) }{ 1 + ( y/x )^2 } } = \ln{|x|} + C \ ;$ $2 arctg{ \frac{y}{x} } - \frac{1}{2} \ln{ ( 1 + ( \frac{y}{x} )^2 ) } = \frac{1}{2} \ln{x^2} + C \ ;$ $4 arctg{ \frac{y}{x} } = \ln{ ( 1 + ( \frac{y}{x} )^2 ) } + \ln{x^2} + C \ ;$ $4 arctg{ \frac{y}{x} } = \ln{ ( x^2 + y^2 ) } + C \ ;$ или $4 arctg{ \frac{y}{x} } = \ln{ \frac{ x^2 + y^2 }{R^2} } \ .$ Более точное решение этого дифференциального уравнения (как и любого другого) может быть дано только при наличии начальных условий.
- Автор:
  tipr
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ