Задание на фото****************************************************************************

Спасибо ))

"MK = NP1 всегда" означает, что для двух произвольных окружностей это верно

Спасибо))

есть еще упрощающий момент, хотя ответ "выглядит иначе"

∠EMN = 90° - 2*∠DO1O2 = 90° - 2arctg((R-r)/(R+r)); это уже ответ фактически

мне больше всего нравится моя форма 2arctg(r/R); можно поупражняться в тригонометрии и доказать, что это один и тот же ответ

Вообще говоря, внутренних касательных две, а поэтому значений искомого угла будет два. Один из этих углов будет прямым, а для второго можно найти лишь параметрическое выражение синуса или косинуса.Покажем это.Сначала сделаем построение по условию задачи и введём соответствующие обозначения.Центр малой окружности      и соответственно   Центр большой окружности      и соответственно   Нам дано расстояние между центрами   Внешняя касательная   Внутренние касательные, пересекающиеся в точке   отмечены, как      и   Из соображений симметрии, очевидно, что точка      а сами врутренние касательные отклонены от      на одинаковый угол в разные стороны.Через точку      проведём   Обозначим   Отметим точку      на продолжении      так, чтобы      – был прямоугольным с прямым углом   Мы пока ещё не доказали, что       поэтому не можем сказать, что   хотя это и видно их рисунка.Но мы можем найти      через Теорему Пифагора:С другой стороны, в прямоугольной трапеции   Значит   Т.е.      а поскольку      то и      а значит внешняя касательная и одна из внутренних – перпендикулярны.Вторая внутренняя касательная      отклонена от внешней касательной      на угол   В частности, если радиусы равны,      что очевидно верно.О т в е т : 

Я решил тоже поучаствовать, хотя предыдущее решение дает верный ответ. Все обозначения у меня на рисунке, O1D II EK (то есть O1EKD - прямоугольник).Легко вычислить по теореме Пифагора (O1O2 = √(2R^2 + 2r^2); O2D = R - r), что O1D = EK = R + r; (ну, r - радиус меньшей окружности, R - большей). Осталось заметить, что угол, который надо найти ∠EMP1 = ∠P2O2K; - у них стороны перпендикулярны. (Примечание. Поскольку уравнения "не знают", для какого угла их составляют, по идее должно получиться уравнение, которое даст сразу оба ответа)Если обозначить искомый угол ∠EMP1 = γ; то ∠EMO1 = ∠MO2K = γ/2;Очевидные соотношения MK = R*tg(γ/2); EM*tg(γ/2) = r; MK + EM = EK = R + r; дают уравнение для t = tg(γ/2);(R + r)*t - R*t^2 = r; или t^2 - t*(R + r)/R + r/R = 0;Решение этого квадратного уравнения можно представить в видеt = (R + r)/(2R) +- (R - r)/(2R); или t1 = 1; t2 = r/R;Первый случай соответствует углу γ = 90°; второй можно записать в виде γ = 2*arctg(r/R); это по сути тот же ответ, что и в другом решении.Я взялся за это, чтобы понять, почему при таком расстоянии между центрами получается прямой угол. По сути тут задача о расстоянии между центрами вписанной и вневписанной окружностей для треугольника. Поэтому это и было интересно. Связь я увидел уже после того, как набрал решение. И это все упростило до предела. Вот во что превращается решение.Получается, что ПРОЕКЦИЯ O1O2 на EK равна сумме радиусов. Но это сразу означает, что внутренняя касательная ПРОЕКТИРУЕТСЯ на внешнюю касательную в точку.  То есть перпендикулярна ей. Конечно, речь идет об одной из ДВУХ внутренних касательных, к примеру, NM проектируется на нижнюю внешнюю касательную в точку N, а вторая внутренняя касательная, симметричная NM относительно O1O2, проектируется на EM в точку, симметричную N. Это, по сути, все решение, потому что сразу MK = NP1 = r; (тут разберитесь, MK = NP1, всегда, то есть - в произвольном случае двух не пересекающихся окружностей, а почему?) => EM = R; tg(∠EMO1) = r/R;  это всё!