Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот - целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

В любом треугольнике высота больше диаметра вписанной окружности.

Поэтому длины высот — целые числа, большие 2, т. е. все они не меньше 3.

Пусть S — площадь треугольника, 

a — наибольшая его сторона, 

h — соответствующая высота.

Предположим, что треугольник неправильный.

Тогда его периметр P меньше 3a.

Поэтому  3a > P = Pr = 2S = ha, т. е. h < 3.

Получено противоречие.