1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции

1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой.
2. Для функции f(x)=3x^2+2x-3 найти первообразную,график которой проходит через точку М(1;-2).
3. Найти площадь фигуры ограниченной:
1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох;
2) графиками функций y=x^2+1 и y=10
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  angelawoods
- 6 лет назад

Ответы 1

1. $F(x)=e^{2x}+x^3-cos x$ и $f(x)=2e^{2x}+3x^2+sin x$ , x∈RПроверка будет состоять в нахождении производной F'(x). $F'(x)=2e^{2x}+3x^2+ sin x = f(x)$ Что и требовалось показать.2. $f(x)=3x^2+2x-3$ и $M (1;-2)$ Найдём первообразную, подставим туда координаты точки М и найдём константу. $F(x) = \int\limits { f(x)} \, dx = \int\limits {(3x^2+2x-3)} \, dx= x^3+x^2-3x + C \\ \\ F(1) = 1^3+1^2-3*1 + C = -2 \\ \\ -1 + C = -2 \\ \\ C = -1$ Итак, искомая первообразная такая: $F(x) = x^3+x^2-3x -1$ 3. 1) Дана парабола $y=x^2+x-6$ и прямая y = 0 (ось Ох). Найдём точки пересечения параболы с прямой. $y=x^2+x-6 = 0 \\ \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4*1*(-6)} }{2*1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \\ \\ x_1 = -3; \:\:\:\:\: x_2 = 2$ Итак, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. А т.к. ветви параболы направлены вверх, то вершина параболы находится ниже оси Ох. Вот нам и надо найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс между точками х= -3 и х= 2. $S = \int\limits^2_{-3} {(x^2+x-6)} \, dx = ( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} -6x)|^2_{-3} = \\ \\ = \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} -6*2 - \frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} +6*(-3)) = \\ \\ = \frac{8}{3} +2 -12 +9 - \frac{9}{2} -18 = -19 + \frac{16}{6} - \frac{27}{6} = \\ \\ = -19 - \frac{11}{6} = -20 \frac{5}{6}$ Площадь получилась отрицательной, т.к. фигура находится ниже оси абсцисс.3. 2) Дана парабола $y=x^2+1$ и прямая $y= 10$ .Найдём точки пересечения параболы с прямой. $y=x^2+1 = 10 \\ \\ x^2 = 9 \\ \\ x = \pm 3$ Вершина параболы в точке (0; 1): $x = - \frac{0}{2*1} =0 \\ \\ y = 0^2 + 1 = 1$ Это означает, что интегрированием параболы от минус 3 до плюс 3 мы найдём площадь под параболой до оси абсцисс. А нам надо найти площадь между заданными функциями. Поэтому находим площадь прямоугольника, ограниченного координатами по иксу от минус трёх до плюс трёх, а по игреку от 0 до 10. Эта площадь равна [3 - (-3)] * 10 = 60.А затем вычтем из площади прямоугольника площадь фигуры под параболой. Остаётся найти площадь этой фигуры: $\int\limits^3_{-3} {(x^2+1)} \, dx = ( \frac{x^3}{3} +x)|^3_{-3} = \frac{3^3}{3} +3 -\frac{(-3)^3}{3} -(-3)= \\ \\ = 9 +3+9+3 = 24$ Вот теперь можем вычислить искомую площадь 60 - 24 = 36.
- Автор:
  preciouspin6
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ