Пожалуйста помогите решить e^y=e-xy

Пожалуйста помогите решить
e^y=e-xy
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  raidenreilly
- 6 лет назад

Ответы 5

подскажите, пожалуйста, как из этого e^y=e-xy выразить производную
- Автор:
  snuffles
- 6 лет назад
- 0
Что же вы в задании не написали.
- Автор:
  gus35
- 6 лет назад
- 0
Проивходную по какой переменной?
- Автор:
  landynharmon
- 6 лет назад
- 0
"По" какой и "от" какой?
- Автор:
  salvio
- 6 лет назад
- 0
Единственное, что тут можно сделать – выразить x(y):e^y = e – xy ; $e^y = e - xy \ ;$ $xy = e - e^y \ ;$ $x = \frac{ e - e^y }{y} \ .$ В коментах просят проиводную:Продифференцируем исходное уравнениепо переменной $x \ ,$ и получим: $e^y \cdot y'_x = - y - x y'_x \ ;$ $e^y \cdot y'_x + x y'_x = - y \ ;$ $y'_x \cdot ( e^y + x ) = - y \ ;$ $y'_x \cdot ( e - xy + x ) = - y \ ;$ $y'_x = \frac{y}{ xy - x - e } \ ;$ $y'_x = \frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } \ ;$ Если подставить значение $x(y) = \frac{ e - e^y }{y} \ ,$ то мы получим: $y'_x (y) = \frac{y}{ ( y - 1 )( e - e^y )/y - e } = \frac{y}{ ( 1 - 1/y )( e - e^y ) - e } = \frac{y}{ e - e^y - e/y + (e^y)/y - e } = \\\\ = \frac{y}{ (e^y)/y - ( y \cdot e^y )/y - e/y } = \frac{y}{ ( e^y - y \cdot e^y - e )/y } = \frac{y^2}{ e^y - y \cdot e^y - e } = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ;$ Можно продиффиренцировать $x(y) \ ,$ и мы получим: $x'_y (y) = \frac{ - e^y \cdot y - e + e^y }{y^2} = \frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} \ .$ $y'_x (y) = \frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy} = 1 / x'_y (y) = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ,$ что так же было уже найдено и раньше.Ответ: $\frac{dy}{dx} = y'_x (x,y) = \frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } \ ;$ $\frac{dy}{dx} = y'_x (y) = \frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } \ ;$ $\frac{dx}{dy} = x'_y (y) = \frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} \ .$ *** Если же (вдруг) это дифур. Т.е. требуется решить дифференциальное уравнение (в общем виде), и правильно условие записывается, как: e^y = e - xy' ;то решение было бы таким: $e^y = e - xy' \ ;$ $xy' = e - e^y \ ;$ $x \frac{dy}{dx} = e - e^y \ ;$ $\frac{dy}{ e - e^y } = \frac{dx}{x} \ ;$ $\int{ \frac{ dy }{ e - e^y } } = \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$ $\int{ \frac{ d\ln{e^y} }{ e - e^y } } = \ln{|x|} \ ;$ $\int{ \frac{ (de^y)/e^y }{ e - e^y } } = \ln{|x|} \ ;$ $\int{ \frac{ de^y }{ e \cdot e^y - (e^y)^2 } } = \ln{|x|} \ ;$ $\frac{1}{e} \int{ ( \frac{ de^y }{e^y} + \frac{ de^y }{ e - e^y } ) } = \ln{|x|} \ ;$ $\frac{1}{e} ( \int{ \frac{ de^y }{e^y} } + \int{ \frac{ de^y }{ e - e^y } } ) = \ln{|x|} \ ;$ $\frac{1}{e} ( \ln{e^y} - \int{ \frac{ d( e - e^y ) }{ e - e^y } } ) = \ln{|x|} \ ;$ $\frac{1}{e} ( \ln{e^y} - \ln{ | e - e^y | } ) = \ln{|x|} + C_2 \ ;$ $\ln{ \frac{e^y}{ | e - e^y | } } = e \ln{ | C_1 x | } \ ;$ $\ln{ \frac{1}{ | e \cdot e^{-y} - 1 | } } = \ln{ ( C x^e ) } \ ;$ $\frac{1}{ e^{1-y} - 1 } = C x^e \ ;$ $e^{1-y} - 1 = C x^{-e} \ ;$ $e^{1-y} = 1 + C x^{-e} \ ;$ $1-y = \ln{ ( 1 + C x^{-e} ) } \ ;$ $y = 1 - \ln{ ( 1 + \frac{C}{x^e} ) } \ ;$ Общее решение дифференциального уравнения e^y = e – xy' : $y = 1 - \ln{ ( 1 + \frac{C}{x^e} ) } \ ;$
- Автор:
  bonniel2ov
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ