Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Т.к. серединные перпендикуляры к сторонам будут пересекаться именно в точке, которая делит гипотенуза на два равных отрезка, то медиана будет делить гипотенузу на два равных отрезка и равна одному из них. Если достроить треугольник до прямоугольника, то тогда сразу будет ясно, что медиана равна половине гипотенузы и равна половине диагонали (а диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся на равные между собой отрезки).