Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями:
    x^2 + y^2 = 2x, x^2 + y^2 = 4x, y = x, y = 0 .

Ответы 1

  • 1) Строим фигуру. x^{2}+y^2=2xx^2-2x+1+y^2=1(x-1)^2+(y-0)^2=1 Первое уравнение даёт нам окружность с центром в точке [1,0] и единичным радиусом. Второе даёт нам вторую окружность, по аналогии с первым. Третья функция строится поточечно. Взяв любое значение x, получаем y и проводим прямую. Четвёртая прямая при любом x, даёт y=0.Площадь фигуры рассчитывается по формуле S= \int\limits \int\limits{dx} \, dy При переходе к полярным координатам не забываем dxdy=rdrdφx=rcosφy=rsinφБерём первое уравнение x^2+y^2-2x=0 и осуществляем преобразование (rcosφ)²+(rsinφ)²-2(rcosφ)=0Вспоминаем тригонометрическое тождество cosφ²+sinφ²=1 и применяем:r²-2rcosφ=0r-2cosφ=0Ровно по такой же схеме преобразуем x²+y²=4x в r=4cosφПрямая y=x даёт нам изменение угла от 0 до π/4 в полярной системе координат, r же меняется от малой окружности до большей. \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {} \, d \phi \int\limits^{4cos \phi}_{2cos\phi} {r} \, dr = \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {6cos^{2}\phi } \, d \phi =6 \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {( \frac{1}{2}cos(2\phi)+ \frac{1}{2} )} \, d \phi= \frac{3(2+ \pi )}{4}
    answer img

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years