На сторонах AB,‍ BC,‍ CD‍ и AD‍ параллелограмма ABCD‍ отмечены точки K,‍ L,‍ M‍ и N‍ соответственно, причём ‍
‍ AK:‍ KB = ‍‍BL:LC‍ = ‍CM:MD‍‍ = ‍DN:NA‍‍.‍
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN —‍ параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.‍
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN‍ и ABCD,‍ если известно, что AK:KB=2:5

P.S. небольшая поправка: равенство треугольников aon и loc доказывается по первому признаку (an = lc = ny, ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC, lo = on, тк o - точка пересечения диагоналей парал-ма klmn), так как мы не можем использовать равенство углов oan и ocl, как внутренних накрест лежащих, потому что это основано на том, что c лежит на ao, что необходимо доказать

а) пусть AK : KB = 1 : nAK = x, BL = y,тк AB = CD и BC = ADимеем:cm = ak = xkb = md = nxnd = bl = ylc = an = nyΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm)=> kn = lmаналогично получаем kl = nmТаким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограммпусть km ∩ ln = OΔaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой aoиз равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказатьб) пусть ak = cm = 2xkb = md = 5xbl = nd = 2yan = lc = 5yзаметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinASabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinASklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinASklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49Ответ: а) доказано; б) 29 / 49.