Найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости, проходящей через точки А(4;3;0), В(3;5;-1), С(1;3;3).

1) Составим уравнение плоскости (ABC). Оно имеет вид:ax+by+cz+d=0Плоскость проходит через три точки A, B, C, поэтому справедливо следующее:Для A(4;3;0): 4a+3b+d=0Для B(3;5;-1): 3a+5b-c+d=0Для C(1;3;3): a+3b+3c+d=0Получили систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Сразу же примем a=1, чтобы система решилась однозначно.(1) 3b+d=-4(2) 5b-c+d=-3(3) 3b+3c+d=-1Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему, получим:18b+4d=-10 или 9b+2d=-5 (4)Умножим первое уравнение на -2 и сложим с (4). -6b+9b-4d+4d=8-53b=3, b=1Далее из (1) выразим d: d = -4-3b=-7Далее из (2) выразим c: c = 5b+d+3=5-7+3=1.Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: x+y+z-7=0.Теперь можно найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости (ABC):ρ(D, (ABC))=|1*5+1*3+1*1-7|/sqrt(1^2+1^2+1^2)=2/sqrt(3)=2*sqrt(3)/3.