Застопорился на примере. Отталкивался от записей в начале тетради:
"Метод мат. индукции заключается в:
1. Проверяется справедливость утверждения при n=1;
2. Допускается верность утверждения при n=k (смотря по примерам-n просто сменилась k);
3. Доказывается справедливость утверждения при n=k+1 (собственно проблема);

Пример-решение:
2+7+14+...+(n^2+2n-1)=( n(2n^2+9n+1) )/6
1)n=1 1= ( 1(2*1^2+9*1+1) )/6
1=( 1(2+9+1) )/2
1 [не равно] 2

2) 2+7+14+...(k^2+2k-1)= ( k(2k^2+9k+1) )/6

3) А вот тут началась ахинея еще в начале:
2+7+14...+(k^2+2k-1)*(k+2)= //?
( k(2k^2+9k+1) )/6 + (k^2+2k-1)*(k+2) //?

и если так, то верно ли далее:
( k(2k^2+9k+1)+6(k^2+2k-1)*(k+2) )/6
( 2k^3+9k^2+k+(6k^2+12k-6)*(k+2) )/6

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т.е.2

правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2

2=2 , т.е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6

3) проверяем верность этого равенства для (n+1):

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2+7+14+....+(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое =  n(2n^2+9n+1)/6  + ( (n+1)^2 +      2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю:  =

=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6

Теперь займёмся правой частью для (n+1):

((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 =  (2n^3+15n^2+25n+12)/6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.