1/x - x/x+1 + x+1/x = 0

Знаменатель ≠0 :
х≠0 
x+1≠0 ⇒  x≠-1
Избавимся от знаменателей (умножим на  х(х+1) ):
(х+1)  -  х*х  + (х+1)(х+1) = 0  *х(х+1)
х+1-х²+ (х+1)² = 0
-х² +х+1  +х² +2х+1 =0
3х+2 =0
3х=-2
х=-2/3

Ответ : х =  -2/3