В треугольнике ABC AB=7, BC=9, CA=4. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. НУЖНО РЕШЕНИЕ СРОЧНО

Есть более простой способ определения EF. Находим AE =r1*tg(пи-(<CAD)/2) = 1,089454173. FD = r1*tg((пи-(<ADB)/2) = 0,089454173. Далее вычитаем их из АД: AD = 5,678908346AE+FD = 1,178908346EF = 4,5.

есть же простой способ решения, без тригонометрии.

И еще, самое главное, не рассмотрен второй случай, когда точка Д лежит на продолжение стороны ВС. В этом случае будет внешняя касательная двух окружностей. Задача решена наполовину.

На основе теоремы косинусов:- по сторонам треугольника АВС находим косинус угла В:cos B = 949+81-16)/(2*7*9) = 114/126 = 19/21.- используя это значение, находим длину АД:АД = √(49+2,25-2*7*1,5*(19/21)) = √32,25.Зная длины сторон треугольников АСД и АВД по формуле:r = S/p, где S - площадь, а p - полупериметр, находим радиусы вписанных окружностей в треугольники АСД и АВД.r(АСД) = 1,3016357.r(АВД) = 0,3154076.Находим расстояние между центрами окружностей (используя координаты их центров): О1О2 = 4,78172.Расстояние L между точками E и F равно:L =√(O1O2)²-(r1+r2)²) = √(4,78172²-(1,3016357+0,3154076)²) =   = √( 22,8648- 2,61483) = √20,25=  4,5.Рассмотрим второй вариант решения, когда точка Д находится на продолжении стороны ВС.Пусть длина отрезка ВД - это х.Из заданного соотношения ВД : ДС=1 : 5 находим х/(х+9) = 1/5.5х = х + 9,4х = 9, х = 9/4 = 2,25.Длина ДС = 2,25 + 9 = 11,25.Косинус угла С не изменился и равен 2/3.АД = √(4²+11,25²-2*4*11,25*(2/3)) = √82,5625 ≈  9,0863909.Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности находим по формуле: L = p-a, где р - полупериметр треугольника, а - сторона, имеющая общий угол с искомым отрезком.Находим: р(АДС) =   (11,25 + 4 + 9.0863909)/2 = 12.168195.               р(АВС) =   (2,25 + 9,0863909 + 7)/2 = 9,168195.Получаем длину EF = 6.