В  правильной  треугольной  призме  АВСА1В1С1  сторона  основания  АВ  равна  6,  а 
боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М 
–  середины  ребер АВ  и А1С1  соответственно. Плоскость  гамма   параллельна  прямой АС  и 
содержит точки К и L. 
а)  Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма
б)  Найдите  объем  пирамиды,  вершина  которой  –  точка  М,  а  основание  –  сечение 
данной призмы плоскостью гамма .

а) Сечение призмы плоскостью гамма представляет собой равнобедренную трапецию.Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1.Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания).Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС.Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма .В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О.Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы.Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3.tg(BM)=3/(3√3) =1/√3.Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3.tg(В2К2) = 3/√3 = √3.То есть углы составляют 30 и 60 градусов.Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма.б) Высота трапеции h в сечении гамма равна:h = √(3²+(√3)²) = √(9+3) = √12 = 2√3.Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3.Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО. ВМ = √(3²+(3√3)²) = √(9+27) = √36 = 6.ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4.H = 6 - (9/4) = 15/4.Объём заданной пирамиды равен:V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.