исследуйте функцию на экстреремум

– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума; – экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.

Начнём с функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости , а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.

Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.

Итак, «действующие лица» следующие: функция , внутренняя точка  её области определения и -окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса  с центром в точке  (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).

Определение: если в некоторой -окрестности точки  выполнено неравенство , то говорят, что функция  имеет минимум в точке .

При этом точка  называется точкой минимума, а соответствующее значение функции   («высота») – минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!

Простейший пример минимума – это вершина эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх: Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция   достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты  меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений .

Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая -окрестность, т.к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.