Исследование функции с помощью производной . на листке если можно

Общая схема исследования и построения графика функции

 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.

Область определения функции - вся числовая ось.

D(x) = R.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

f(-x) = -(x^3-15x)/3.

Функция является  нечетной. Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

3. Выяснить, является ли функция периодической.

Функция непериодическая.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции). С осью Ох: у = 0.

(x^3-15x)/3 = 0.

x(x^2-15) = 0. 

Имеем 3 корня: х = 0, х = √15, х = -√15.

5. Найти асимптоты графика. Их нет.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

f'(x) = (1/3)*3x^2 - 5 = x² - 5.

Критические точки - при f'(x) = 0:

x² - 5 = 0,  х = +-√5.

7. Найти промежутки монотонности функции.

Исследуем производную вблизи критических точек:

х =               -2.5   -2.23607   -2      2      2.23607     2.5 y' = x^2-5     1.25        0         -1     -1            0        1.25.Где производная положительна, там функция возрастает. Где отрицательна - там функция убывает.Возрастает на промежутках(-oo, -sqrt(5)] U [sqrt(5), oo)Убывает на промежутках[-sqrt(5), sqrt(5)]

8. Определить экстремумы функции f(x).

Их видно по пункту 7. Где производная меняет знак с + на - это максимум функции, где с - на + там минимум.

Минимум функции в точке x = √5.

Максимумы функции в точке x=−√5.

9. Вычислить вторую производную f''(x).

f''(x) = 2х.

Находим точку перегиба графика 2х = 0,  х = 0.

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

Вогнутая на промежутке [0, oo).Выпуклая на промежутке (-oo, 0].

11. Построить график, используя полученные результаты исследования. В приложении.