высота ch прямоугольного треугольника abc делит гипотенузу ab на отрезки ah=12 и bh=3. Касательная к описанной окружности треугольника abc проходящая
через точку c пересекает прямую ab в точке d. найти длину отрезка bd

Пусть О-центр окружности. По свойству касательной r=OC⊥CD ⇒ Δ OCD - прямоугольный, ∠С=90°.По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, СН² = ВН·НА ⇒ СН² = 3·12=36 ⇒ СН=6.АВ - диаметр, АВ=3+12=15 ⇒ r=OA=OB=OC=7,5.Пусть BD=x.По свойству касательной и секущей к окружности, проведенных их одной точки, CD² = DB·DA = x·(x+15).C другой стороны в прямоугольном  Δ CDН по теореме Пифагора CD²=НD²+НC² = (x+3)²+6².Решаем уравнение (x+3)²+6² = x·(x+15)х²+6х+9+36 = х²+15х9х = 45х = 5Значит, BD = 5.Ответ: 5.