В кубе ABCDA1B1C1D1 найти синус b угла a между прямой AB и плоскостью CB1D1

РешениеВ кубе  ABCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой AB и плоскостью CB1D1решение во вкладыше

Так как АВ // D1 C1 , угол между прямой АВ и плоскостью СB1D  равен углу между прямой D1C1 и плоскостью СB1D. По теореме о трёх перпендикулярах прямая AC1  перпендикулярна прямой B1D1, ак как ортогональная проекция A1C1 наклонной AC1  на плоскость  A1B1C1D1 перпендикулярна прямой  B1D1, лежащей в этой плоскости. Аналогично  AC1  перпендикулярна CB1. Так как  прямая AC‍1‍ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB1D1, эта прямая перпендикулярна плоскости  СB1D1.  Пусть O‍1  ‍ центр грани A‍1B1C1D1. Рассмотрим прямоугольник AA‍1C1C. ‍  Точка O‍1  - ‍ середина его стороны B‍1D1, ‍ а точка M пересечения AC1 ‍ и  CO1  - ‍ это точка пересечения диагонали AC‍1 ‍ с плоскостью CB1D1.‍ Из подобия треугольников C1MO1‍ и AMC ‍по второму признаку: < C1MD1 = < AMC  как вертикальные и < C1AC = < A‍1C1B1 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и А1С1) следует, что ‍  C‍1M / MA= C1O1 / AC = 1 : 2 Таким образом, C1M - ‍ перпендикуляр к плоскости CB‍1D1, ‍ причём, если ребро куба равно a, ‍ то C1M = ‍(1/3) AC1 = (1/3)a√3, а D1M - ‍ортогональная проекция наклонной C‍1D1  ‍ на эту плоскость. Поэтому <C1D1M - ‍ искомый угол прямой C1D1 ‍ (а значит, и AB)‍ с плоскостью CB1D1. Из прямоугольного треугольника C1MD‍1  находим, что‍Sin<C1D1M = C1M / C1D1 = [(1/3)a√3] / a = √3 / 3.