Известно, что при некоторых натуральных a,b
число [tex]N= \frac{a^{2} + b^{2} }{ab-1} [/tex]- тоже натуральное
найдите все значения N

(а₁-1)(a₀-1)≥b₀(b₀+1) откуда ты это получил?

Натуральные числа - это числа начиная с 1, получаемые при счете, т.е положительные и целые.Пусть a₀ и b₀ - этозначения, которые соответствуют наименьшему значению выражения a²+b².Будем считать что a₀>b₀ (можно взять наоборот, тогда дальше в решении надо просто поменять буквы местами).Если b₀=1 (так как минимальное значение натурального ряда чисел равно 1), то:значит а=2 или а=3, т.к. в остальных случаях N не является натуральным (значения выражения будут дроби).При а=2 и а=3 N=5.Пусть b₀>1, тогда:N(ab₀-1)=a²+b²ab₀N-N-a²-b₀²=0a²-ab₀N+b₀²+N=0 Первым корнем этого уравнения будет а₀Согласно теореме Виета второй корень уравнения равен а₁=b₀N-a₀ и он тоже является положительным и целым числом.Из минимальности выражения а²+b² следует, что а₁>a₀.Значит (а₁-1)(a₀-1)≥b₀(b₀+1) и (а₁-1)(a₀-1)=a₁a₀-(a₁+a₀)+1=b₀²+N-b₀N+1Получается что b₀²+N-b₀N+1≥b₀(b₀+1).Это неравенство невозможно при b₀>1.Исходя из решения следует, что единственное значение N, которое является натуральным числом, при натуральных значениях а=2 и  b=1 это 5.