докажите что 5^2n+10^n-4^2n при делении на 9 дает остаток 1

где остаток?

остаток вычли из левой части. Получили выражение , которое должно делиться на 9.

Ну, правильнее сказать, вычли из исследуемого выражения.

sedinalana! Я Вас не понял. Разве не очевидно, что если число при делении на 9 дает остаток 1, то это число без 1 на 9 делится.

Большое спасибо!

Надо доказать, что5^2n+10^n-4^2n-1 делится на 9.10^n-1 делится на 9 (это 99...9).Остается доказать: 5^2n-4^2n делится на 9. Для =1 это так (25-16=9).Пусть это верно для  n=к. Покажем, что это верно и для  n=к+1.5^(2k+2)-4^(2k+2)=25*5^2k-16*2^2k=9*5^2k+16*(5^2k-4^2k), но выражение в скобках , по предположению на 9 делится. Это и доказывает утверждение.