На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине — по выключателю. Каждый выключатель контролирует лампочки, находящиеся на сторонах и диагоналях, выходящих из этой вершины: при переключении выключателя все горящие лампочки, которые он контролирует, гаснут, а все погасшие — включаются. Переключать два выключателя одновременно нельзя. Сейчас все лампочки не горят. Какое наибольшее количество лампочек можно сделать одновременно горящими, пользуясь выключателями?

в 20-угольнике 20 сторон и  (20*17)/2=170 диагоналей, т е 20+170= 190 лампочек, из одной вершины выходят 2 стороны и 17 диагоналей, т е из одной вершины включаются 19 лампочек , потом выключаются и загораются все остальные 190-19=171