Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:
-площадь грани А1 А2 А3 ;
-объем пирамиды А1 А2 А3 A4
-длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

Координаты вершины
А1 (3, 6, 1)
А2 (6, 1, 4)
А3 (3, -6, 10)
А4 (7, 5, 4)

координаты векторов А1А2 ( 6-3;1-6;4-1;)= ( 3; -5; 3)                                     А1А3 ( 0; -12; 9)                                     А1А4 (4; -1; 3; )S(A1A2A3)= (l A1A2l*l A1A3l*sinα)/2 , где α- угол между векторами А1А2 и А1А3, модуль вектора а =√(х²+y²+z²) , т еl A1A2l= √(9+25+9)= √(43), lA1A3l=√(144+81)=√(225)=15 , если α -угол между векторами а и в ,то cosα=(x1x2+y1y2+z1z2)/(lal*lbl),cosα= (0+60+27)/(15√(43)=87/(15√(43)=29/(5√(43),sinα = √(1-cos²α)=√(1-29²/(25*43))=√((25*43-29²)/(25*43))= √((1075-841)/(25*43)= √((234)/(25*43) =(√(2*3*39))/5√(43),S(A1A2A3)=(lA1A2l*lA1A3l*sinα)/2= (15*√(43)*√(2*3*39))/(2*5√(43))=(3*√(2*3*39))/2 = 9√(6,5),V(A1A2A3A4)=+-(1/6)*( определитель из строк ( 3;-5; 3); (0; -12;9 );( 4; -1; 3 ))= +-(1/6)(9*(-12)- 5*9*4+0+ 12² +9*3 -0)= +-(9/6)( -12-20+16+3)= +-(3/2)*(-13)=39/2 , V(A1A2A3A4)=(1/3)*S(A1A2A3)*H, H=(3*V(пир)/S(осн)= (3*39/2)/((9√(6,5))= √(6,5), Ответ: S(A1A2A3)=9√(6,5)                                                 V(A1A2A3A4)= 39/2               H=√(6,5)