Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+....

Ответы 1

  • 1*2 + 2*3x+3*4x^2+ 4*5x^3+... = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)x^{n}

     

    Это степенной ряд, найдём его радиус сходимости.

     

    Согласно признаку Даламбера.

    R = lim_{n -> +\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|= lim_{n -> +\infty}|\frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\\\ lim_{n -> +\infty}|\frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n -> +\infty}|1 - \frac{2}{n+3}| = 1

    Так как радиус сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)x^{n} (*) равен 1, то при |x| >1, ряд расходится.

     

    Проверим сходимость в точках x = 1 и x = -1.

     

    При x = 1, ряд (*) — расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

     

    При x = -1, ряд (*) – расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

     

    Ряд сходится при |x| < 1.

     

    S_n = 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1}\\\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\\\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))''

     

    1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1} + ... - разложение в ряд Маклорена функции \frac{1}{1-x}

     

    См. дальнейшее решение во вложении.

     

    1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} + ... = \frac{2}{(1-x)^3} при |x| < 1

     

     

    answer img

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years