Доказать, что среди чисел, состоящих из цифр 3, найдётся число, делящееся на 17.

Пусть число, состоящее из цифр 3, имеет длину n. Тогда его можно расписать как сумму геометрической прогрессии:3+3*10^1+3*10^2+....+3*10^(n-1)=3*(10^n-1)/(10-1)=(10^n-1)/3Это число должно делиться на 17. Значит, и число 10^n-1 должно делиться на 17.10^n-1≡0(mod 17) или 10^n≡1 (mod 17)Как известно, из малой теоремы Ферма следует, что a^(p-1)≡1 (mod p), где p - некоторое простое число, а НОД(a,p)=1. Здесь a=10, p=17. Следовательно, наименьшим n является p-1=16, при котором число, состоящее из 16 троек делится на 17.