исследуйте функцию на монотонность и экстремум: f(x)=x^3+x^2

Забыла написать справа налево знаки: + - +

Я так понимаю, что чёткого доказательства ты не знаешь, поэтому и не пишешь.

Надо взять вторую производную в точках экстремума. Если она больше нуля, то это локальный минимум функции, если меньше нуля, то это локальный максимум.

В данном случае f''(x)=6x+2. Подставляем значения экстремумов. f''(0)=2; 2>0, значит это локальный минимум функции. f''(-2/3)=-(2/3)*6+2=-2; -2<0, значит это локальный максимум. Следовательно до максимума (-2/3) функция возрастает, потом убывает до минимума (0) и потом снова возрастает.

Вот так это делают "большие дядьки" :)