Высота равностороннего треугольника равна 9 см. Найдите длину окружности, вписанной в этот треугольник.

A) 20π
B) 4,5π
C)9π
D)6π

Ответ:

D) 6π

Пошаговое объяснение:

Длина окружности C = 2πr;

Радиус вписанной окружности r = S/p (S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника).

1) Найдем сторону ΔABC.

Обозначим сторону ΔABC через x. Высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой. Отрезок DC = 1/2 стороны AC = x/2.

По т.Пифагора из  ΔDBC найдем x:

9² = x² - x²/4;   81 = 3x²/4; x² = 4*81/3; x = 2*9/√3 = 18*√3/3 = 6√3;

Сторона ΔABC = 6√3;

2) Полупериметр ΔABC:  p = 3*6√3/2 = 9√3;

3) Площадь ΔABC:  S = 1/2 * a * h = 1/2 * 6√3 * 9 = 27√3;

4) Радиус вписанной в треугольник окружности:

r = S/p = 27√3 / 9√3 = 3 (см);

5) Длина окружности: C = 2πr = 2π*3 = 6π (см).

Длина окружности: C = 6π см.

Ответ D) 6π.

Ответ:

D) 6П

Пошаговое объяснение:

Центр вписанной и описанной окружности в равностороннем треугольнике находится в точке пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).

Эта точка делит высоты в отношении 1:2.

Это значит, что радиус вписанной окружности равен 1/3 высоты.

А радиус описанной окружности равен 2/3 высоты.

Итак, радиус r = h/3 = 9/3 = 3 см.

Длина окружности равна C = 2П*r = 2П*3 = 6П