На доске было написано двузначное число. Саша переставил цифры, и полученное число увеличилось в 4,5 раза. Какое двузначное число было записано первоначально?

Двузначное число записано цифрами а и в

первоначальное число  равно 10а+в   (не забываем, что а, в  - ЦИФРЫ)

после перестановки получилось число 10в+а

по условию

4,5 * (10а+в)=10в+а

решая уравнение получим 8а=в

а=1,в=8. (т.к а<10, в<10)   то других значений нет.

первоначальное число было 18

Решение1 почти правильное. Оно ошибочно(тавтологично), начиная с 

у = 8х

Дальше рассуждать нужно так:

Так как х и у - цифры, значит

0<y<10, то есть

0<8x<10

0<x<1.25, то есть х=1, у=8х=8

Исходные числа 18 и 81.

Замечание

Слева строгое равенство, так как чиcла двузначные, значит х,у#0