ЗАДАЧА ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны числа от 1 до 37(каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй 1. Какое число написано на третьей карточке?

Положим что последняя цифра равна a , сумма всех карточек равна 1+2+3+...+37 = 19*37 , так как 37+1=38 , стало быть в третьей карточке могут быть цифры 2 и 19 , так как (19*37-a)/a= 19*37/a-1 , значит на последней карточке число 19 , так как 37 уже на первой , значит на третьей число 2 .