40 БАЛЛОВ
Для положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) по условию равно a + b.a + b не равно 0, значит, a^2 - ab + b^2 = 1 или a^2 - ab + b^2 - 1 = 0Теперь вспоминаем, что a^2 + b^2 = a + b:a + b - ab - 1 = 0(a - ab) + (b - 1) = 0(a - 1)(b - 1) = 0Для того, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю, т.е. хотя бы одно из чисел a, b, равно 1. Без умаления общности можно считать, что a = 1 (система симметрична относительно замены a на b и наоборот). Докажем, что b = 1.Подставляем a = 1 в равенство a^2 + b^2 = a + b:b^2 + 1 = b + 1b^2 - b = 0b(b - 1) = 0b > 0, значит, b = 1, как и требовалось.