Плоскость альфа проходит через сторону AC треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причём BN:NC=2:3, AM:AB=3:5. Докажите, что MN параллельно альфа. Найдите MN, ЕСЛИ АС=30 см.

Пусть х - одна часть, тогда так как BN : NC =2 : 3, BN = 2x, NC = 3x, ⇒ BC = 5x.

BN : BC = 2 : 5.

Пусть у - одна часть, тогда так как AM : AB = 3 : 5, АМ = 3у, АВ = 5у, ⇒ ВМ = 2у.

BM : BA = 2 : 5.

Итак, BN : BC = 2 : 5, BM : BA = 2 : 5, угол при вершине В общий для треугольников АВС и MBN, ⇒

АВС и MBN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Значит, ∠BMN = ∠BAC, а эти углы - соответственные при пересечении прямых АС и MN секущей АВ, ⇒

MN ║ AC.

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости:

MN ║ AC, АС ⊂ α, ⇒ MN ║ α.

Так как треугольники АВС и MBN подобны, то

MN : AC = BM : BA = 2 : 5

MN = 2AC / 5 = 2 · 30 / 5 = 12 см