Доказать, что для любого натурального числа n. (n+1)(n+2)*...*2n=2^n*1*3*5*...*(2n-1)

Ответы 1

методом математической индукцииБаза индукции при n=1 утверждение верно, так как2*1=2^1*(2*1-1) (обе части равны2 )--(при n=2(2+1)*(2*2)=2^2*1*(2*2-1) (обе части равны 12))Гипотеза индукции. Пусть при n=k утверждение верно, т.е.справедливо равенство $(k+1)(k+2)*...*(2k)=2^k*1*3*5*...(2k-1)$ Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при n=k+1, т.е., чтосправедливо равенство $(k+1+1)(k+1+2)*...*(2(k+1))=2^{k+1}*1*3*5*...*(2(k+1)-1)$ ----- $2^{k+1}*1*3*5*.....*(2(k+1)-1)=2*2^k*1*3*5*...*(2k-1)*(2k+1)=$ используем гипотезу(предположение) индукции, получим $=2(2k+1)*(k+1)(k+2)*...*2k=(k+2)*(k+3)*...*(2k)*(2k+1)*(2*(k+1))=$ $(k+1+1)(k+1+2)*..*(2k)*(2k+1)*(2(k+1))$ , что и хотели доказать.По принципу математической индукции утверждение верно. Доказано
- Автор:
  jaliyahmckenzie
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ