На доске написаны числа от 11 до 999. Вася стёр все числа, имеющие
две одинаковые цифры и все двузначные числа, кратные 10. Докажите,
что сумма оставшихся чисел кратна 37.

хлопаю стоя

спасибо

На доске остались все числа вида 100х+10у+z, где (х,у,z) - всевозможные упорядоченные тройки различных цифр от 0 до 9. Среди цифр от 0 до 9 можно выбрать три различных цифры С³₁₀=8*9*10/3!=120 способами. Любую такую непорядоченную тройку различных цифр х, у, z можно упорядочить 6 различными способами и получить 6 различных чисел:100х+10у+z100х+10z+y100y+10x+z100y+10z+x100z+10x+y100z+10у+xСумма этих чисел равна 2(х+у+z)(100+10+1)=37*6*(x+у+z), т.е. делится на 37. Поскольку это верно для любой (неупорядоченной) тройки различных цифр, то и вся сумма делится на 37.