Помогите пожалуйста)) Существуют ли два последовательных натуральных числа, большие 1000000, такие, что суммы их цифр являются точными квадратами?

Да, существуют. Например, это числа 999999999 и 1000000000. Сумма цифр первого числа равна 9*9=81, сумма цифр второго числа равна 1. Легко видеть, что таким образом можно подобрать сколь угодно большие числа.