Имеется сто билетов с номерами 00,01,02,...,98,99, и десять ящиков с номерами 0,1,2,...,9. Билет разрешается кидать в ящик если номер ящика содержится в записи номера билета может ли после некоторого раскладывания всех билетов по указанному правилу хотя бы один оказался пустым?

Нет. Среди ста билетов есть 10 билетов, чьи номера состоят из 2 одинаковых цифр (00, 11, 22 ..... 99). Их можно положить только однозначно в ящик с номером этой цифры, то есть в каждом ящике обязательно будет хотя бы один билет.