Найдите сумму всех натуральных a, при которых числа x и y удовлетворяют системе \left\{\begin{array}{l} x+2y = 2 \\ 2x+y = a \end{array}ight. и удовлетворяют неравенству y-3x < 0.

x−yx−y — положительное число, неположительные aa мы не учитываем; если xx неположительно, то yyдолжно быть положительно из-за x+y>0x+y>0, но неположительно из-за x−y>0x−y>0; стало быть, если xxнеположительно, то условие задачи нарушается. Ergo, xx — положительное число.

Из второго уравнения y=3−2xy=3−2x; следовательно, yy отрицательно при |y|≥|x||y|≥|x| только в том случае, если x≥3x≥3. Значит, x+y>0x+y>0 всегда соблюдается, когда только 0<x<30<x<3, и осталось построить и проверить все aa, удовлетворяющие условию.

a=x−y=3x−3a=x−y=3x−3 (из второго уравнения); при −3<a<6−3<a<6 заключительное условие задачи соблюдено; осталось удовлетворить ограничения, заданные собственно для aa.