Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 72^612. Найдите количество таких прогрессий.

Пусть прогрессия имеет первый член b и знаменатель q. Сказано, что она бесконечная и состоит из натуральных чисел. Это значит, что прогрессия неубывающая, иначе рано или поздно появились бы дробные члены прогрессии. При этом b и q являются натуральными числами.Найдем произведение первых 6 членов прогрессии:b*bq*bq^2*bq^3*bq^4*bq^5=b^6*q^15b^6*q^15=72^612b^2*q^5=72^204b^2*q^5=(2^3*3^2)^204b^2*q^5=2^612*3^408Так как b и q являются натуральными числами, а справа в уравнении стоит число, в составе которого только степени 2 и 3, то b и q тоже являются числами, в состав которых входят только степени 2 и 3.Тогда пусть b=2^a*3^c, q=2^k*3^m.Тогда (2^a*3^c)^2*(2^k*3^m)^5=2^612*3^4082^(2a+5k)*3^(2c+5m)=2^612*3^408Получаем систему уравнений2a+5k=612,2c+5m=408,которую надо решить в целых неотрицательных числах.Видим, что уравнения однотипные, вида Ax+By=C, причем коэффициенты A и коэффициенты B у них соответственно совпадают.Тогда решим уравнение 2x+5y=C.2x=C-5y2x=C+y-2*(3y)Это значит, что C+y кратно 2.Тогда C+y=2*ry=2*r-CОтсюда уже можно вернуться к x:2x=C-5*(2*r-C)2x=6C-10rx=3C-5r.Так как x и y - целые неотрицательные числа, то на них нужно наложить ограничения:x=3C-5r>=0,y=2r-C>=0Из первого условия получим, что r<=3C/5Из второго условия получим, что r>=C/2Вернемся к более ранней системе уравнений.1) 2a+5k=612Уравнение имеет решения в виде a=3*612-5r, k=2r-612, а количество решений в целых неотрицательных числах в нем равно количеству целых r в промежутке [С/2; 3C/5]. Иными словами, получим промежуток [612/2;3*612/5] или же [306; 367.2]. Целые r в нем - числа от 306 до 367. Их количество 367-306+1=62.2) 2c+5m=408Аналогично получаем промежуток для r[408/2; 3*408/5] =[204; 244.8]Количество целых решений равно 244-204+1=41Так как уравнения системы не пересекаются, общее количество решений в виде четверки чисел (a, k, c, m) равно произведению количества решений первого уравнения и второго уравнения. То есть 62*41=2542