Молодой предприниматель Михайлов Юрий в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Гульдерова Германа помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач поставленных перед Германом была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.

Поверхность банки состоит из двух крышек (круги, S1=pi*R^2) и боковой поверхности, которая есть прямоугольник, скрученный в цилиндр.Длина прямоугольника равна длине окружности крышки (C=2pi*R),а высота равна высоте банки H. Площадь боковой поверхностиS2 = 2*pi*R*HПлощадь поверхности банки, то есть расход жести:S = 2*S1 + S2 = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*HОбъем банки нам известен: V = pi*R^2*H, отсюда H = V/(pi*R^2)Подставляем в формулу площади поверхности:S = 2*pi*R^2 + 2*pi*R*V/(pi*R^2) = 2*pi*R^2 + 2*V/RЧтобы найти точку минимума, нужно приравнять к 0 производную по R.S' = 4*pi*R - 2*V/R^2 = 02(2*pi*R^3 - V) = 0V = 2*pi*R^3Но по формуле объема V = pi*R^2*HЗначит2*pi*R^3 = pi*R^2*HДелим на pi и на R^22*R = HОтвет: наименьший расход будет, когда высота банки равна диаметру.