При каких значениях а функция y(x) возрастает на всей области определения y(x)=1/3*x^3+(a-1)*x^2+2

Тогда, a=>1, т.к. если мы будем увеличивать a, то функция все равно будет увеличиваться. И почему для выполнения условия необходимо иметь только один корнеь?

Первый вопрос отпадает, но почему необходимо иметь один корень?!

потому что если производная будет иметь два корня, то мы получим, что на каком-то промежутке функция будет убывать (так как производная будет отрицательна), а вот если производная не опускается ниже нуля, то функция будет всегда возрастать

у(х) = ⅓х³ + (а-1)х² + 2у'(х) = х² + 2(а-1)хДля выполнения нужного условия необходимо, чтобы следующее уравнение имело единственный корень либо вовсе не имело корней:х² + 2(а-1)х = 0х(х + 2а - 2) = 0Заметим, что х = 0 всегда будет корнем уравнения. Тогда необходимо, чтоб корнем скобки х + 2а - 2 тоже был 0.0 + 2а - 2 = 0 => а = 1Ответ: при а = 1 ф-ция у(х) возрастает на всей области определения.