На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB = BF и FC=CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABF,FCD,BFC равны 3, 8 и 6 соответственно. Найдите отношение AF:FD.

Спасибо большое

Пожалуйста!

Введем обозначения: H - высота трапеции и всех трех треугольников;остальные - по рисунку.Площади этих треугольников запишем двумя способами, как половина произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:S (ABF) = 1/2 2a H = aH = 3(a+c)S (FCD) = 1/2 2b H = bH = 8(b+d)S (BFC) = 1/2 (a+b)H = 1/2(a+b+c+d)*6aH = 3a + 3c                                (1)                  это системаbH = 8b + 8d                                (2)1/2(a+b)H = 3a + 3b + 3c + 3d  (3) два первых уравнения сложим:(a+b)H = 3a + 8b + 3c + 8dи вычтем из полученного третье:1/2 (a+b) = 5b + 5db+d = (a+b)H/10а из второго: b+d = bH/8, приравняем:(a+b)H/10 = bH/8(a+b)/5 = b/44(a+b) = 5b4a = b, т.е. a/b = 1/4, значит и AF:FD = 1/4 Проще не придумалось:)