известно что у двух многочленов Pn(x) и Qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что Pn(2017)---Qm(2017) делится без остатка на 2016

известно что у двух многочленов Pn(x) и Qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что Pn(2017)---Qm(2017) делится без остатка на 2016
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  benjamín4
- 5 лет назад

Ответы 4

Что такое аk?
- Автор:
  jayleen
- 5 лет назад
- 0
Коэффициенты многочлена (произвольные действительные константы)
- Автор:
  demarcusmccullough
- 5 лет назад
- 0
Пардон, эти константы даже целые!
- Автор:
  zorrofula
- 5 лет назад
- 0
В общем виде можно написать, что $\displaystyle P_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k\\ Q_m(x) = \sum\limits_{k=0}^m b_k x^k$ Рассмотрим Pn(2017) и перегруппируем члены $\displaystyle P_n(2017) = P_n(2016+1) = \sum\limits_{k=0}^n a_k (2016+1)^k = \\ = \sum\limits_{k=0}^n \left[a_k (2016+1)^k-1ight] + \sum\limits_{k=0}^n a_k$ Вторая сумма и есть сумма всех коэффициентов. Несложно показать, что первая сумма делится на 2016. Рассмотрим любое ее слагаемое и разложим двучлен по формуле бинома Ньютона $\displaystyle a_k[(2016+1)^k-1] = a_k\sum\limits_{l=1}^kC^l_k\cdot2016^l = 2016\sum\limits_{l=0}^{k-1}C^{l+1}_{k}\cdot2016^l$ Итак, общий множитель вынесся, а под суммой стоят только целые числа,так что все хорошо.Аналогично мы разложим многочлен Qm(2017) и тоже представим его в виде чего-то, что делится на 2016 и суммы его коэффициентов. Когда мы посмотрим на разницу Pn(2017)-Qm(2017), суммы коэффициентов этих многочленов друг друга уничтожат и останется разность двух сумм, каждая из которых делится на 2016. Значит и разность будет делиться на 2016
- Автор:
  kaliholloway
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

известно что у двух многочленов Pn(x) и Qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что Pn(2017)---Qm(2017) делится без остатка на 2016

Ответы 4

Топ пользователей