• укажите функцию которая удовлетворяет уравнению y"+xy`+y=xcosx

Ответы 6

  • В моих терминах можно просто сказать u = 0
    • Автор:

      bruce51
    • 6 лет назад
    • 0
  • Просто я решил пойти чуть дальше и найти хотя бы одно нетривиальное u, но это непринципиально
    • Автор:

      daniel91
    • 6 лет назад
    • 0
  • можно другое решение?
    • Автор:

      eddiec4yo
    • 6 лет назад
    • 0
  • Можно, конечно
  • Можете его написать?
    • Автор:

      nunez
    • 6 лет назад
    • 0
  • Обратим внимание, что справа стоит xy' а слева xcos(x). Чтобы избавиться от этих проблемных членов, представим y = u + \sin xТогда(u'' - \sin x) + x(u'+\cos x) + u + \sin x = x\cos x\\
u'' + xu' + u = 0\\
Фактически, мы угадали частное решение. Теперь найдем общее решение однородного уравнения. На самом деле нет, не найдем, просто найдем частное, но нам же задача ставится только функцию подобрать. Сделаем замену p = x^2, тогдаp = x^2\\
dp = 2xdx\\
u' = du/dx = 2x(du/dp) = 2\sqrt{p}u`\\
u'' = du'/dx = 2\sqrt{p}(du'/dp) = 2\sqrt{p}(p^{-1/2}u` + 2\sqrt{p}u``) = 2u`+4pu``\\\\
Где обратный штрих означает производную по p. Подставим все и получим4pu``+2pu`+2u`+u = 0\\
2u`+u + 2p(2u`+u)` = 0Частным решением последнего уравнения будет2u`+u = 0\\
u = \exp(-p/2) = \exp(-x^2/2)\\\\
y = u+\sin x = \exp(-x^2/2)+\sin x
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years