В классе из 25 учащихся 18 - изучают английский язык, 15 - немецкий и 17 французский. Для каждых двух языков найдётся ровно 5 учащихся, изучающих только эти два языка. Сколько учащихся изучают все три языка, если каждый изучает хотя бы один язык?

А – количество учащихся, которые изучают английский язык

Н – количество учащихся, которые изучают немецкий язык

Ф – количество учащихся, которые изучают французский язык

По условию

25 – 18 – 5 = Н + Ф  - это количество учащихся, которые НЕ изучают английский язык, значит, они изучают Нем. и Фр.

25 – 15 – 5 = А + Ф - это количество учащихся, которые НЕ изучают немецкий язык, значит, они изучают Англ. и Фр.

25 – 17 – 5 = А + Н  - это количество учащихся, которые НЕ изучают французский язык, значит, они изучают Англ. и Нем.

Имеем систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

{Н + Ф = 2

{А + Ф = 5

{А + Н = 3

Сложив все эти три уравнения, получим:

Н + Ф + А + Ф + А + Н = 2 + 5 + 3

2А + 2Н + 2Ф = 10

Вынесем за скобку 2

2 * (А + Н + Ф) = 10

Отсюда

А + Н + Ф = 10 : 2

А + Н + Ф = 5

Это ответ: 5 учащихся изучают все три языка.