Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите пожалуйста решить интеграл:
    integral(dx/(4cosx+3sinx))
    Решается способом универсальной тригонометрической подстановки.

Ответы 1

  • \int \frac{dx}{4cosx+3sinx}=[\, t=tg\frac{x}{2}\; ,\; sinx=\frac{2t}{1+t^2}\; ,\; cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\; ,\\\\x=2arctgt\; ,\; dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\; ]=\\\\=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\left (4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+3\cdot \frac{2t}{1+t^2}ight )} =\int \frac{2\, dt}{4-4t^2+6t} =\int \frac{dt}{-(2t^2-3t-2)}=\\\\=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{3}{2}t-1}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{(t-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}-1} =-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{(t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{16}}==- \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{4}} \cdot ln\left | \frac{t-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}{t-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}} ight |+C=-\frac{1}{5}\cdot ln\left |\frac{tg\frac{x}{2}-2}{tg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}ight |+C=\\\\=-\frac{1}{5}\cdot ln\left |\frac{2tg\frac{x}{2}-4}{2tg\frac{x}{2}+1}ight |+C

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years